68-95-99: llamada de emergencia de un BM al responsable de I+D

Aunque en esta entrada se discutirán algunos conceptos básicos de estadística, mi objetivo es hacer hincapié en la importancia de la comunicación entre departamentos durante las fases terminales de definición de un nuevo producto. El siguiente es un hipotético diálogo entre un Brand Manager (B.M.)  y un Jefe de Producción (J.P.), en presencia del responsable de I+D, tras el lanzamiento de un nuevo detergente líquido en el que la compañía tiene depositadas grandes esperanzas de crecimiento:

- B.M.: “Tenemos un serio problema de calidad. De cada 10 botellas que llegan al mercado, como mínimo 2 son más líquidas, o más espesas, de lo que habíamos aprobado con el prototipo. Esto es inaceptable.”

- J.P.: “Hacemos todo lo que está en nuestra mano. No podemos cumplir con unas especificaciones tan estrechas, con la fórmula que ha desarrollado I+D ...”

Ambos miran ahora al responsable de I+D y esperan una respuesta, mientras éste se pregunta cómo podía haber evitado llegar a esta situación ….

La fase final del desarrollo de un nuevo producto pasa inevitablemente por fijar unas especificaciones técnicas, que incluirán la asignación de un valor esperado y unos márgenes de tolerancia para los diferentes atributos del producto. Mientras algunos de estos atributos son innegociables, ya sea por aspectos legislativos (por ejemplo, la tolerancia en los pesos nominales de productos envasados REAL DECRETO 1801/2008) o de seguridad del consumidor (ej, ausencia de patógenos), otras características responden únicamente al aspecto y funcionalidad deseados para el producto, y pueden y deben ser negociadas

Retomemos el ejemplo del detergente líquido objeto de la discusión. Tras la fase de desarrollo en laboratorio, los investigadores han creado un prototipo cuyo aspecto ha sido aprobado como “aceptable” por el departamento de Marketing. Durante la fase de escalado, los datos registrados por el departamento de Control de Calidad indican que en el proceso industrial obtenemos un valor medio de viscosidad cercano al objetivo deseado, y con una desviación estándar aparentemente aceptable:

Dado que en la mayoría de los casos los procesos industriales siguen distribuciones normales, la probabilidad de que una botella de producto llegue al mercado dentro de un determinado rango de viscosidad viene dado por:

En este punto, acordar las especificaciones finales del producto debería ser una responsabilidad compartida, en la que los datos estadísticos se traducen y comunican a la organización en términos de probabilidades y sus consecuencias. En nuestro ejemplo, el Brand Manager puede desear que el producto esté siempre dentro de unos limites muy estrechos de viscosidad (ej, +/- 1 desviación estándar), pero la consecuencia inmediata será desestimar y recuperar 1/3 de los lotes de producción. Por otra parte, unas especificaciones de producción de +/- 3 desviaciones estándar harán feliz al Jefe de Producción, pero como consecuencia liberarán al mercado productos con los cuales puede no estar conforme el departamento comercial.

El entendimiento entre los departamentos de I+D, Producción y Marketing permitirá decidir cuál debe ser la tolerancia en cada una de las características del producto que ha dejado de ser un prototipo para ser un producto industrial, y si son necesarias o justificables inversiones adicionales para subir el nivel de exigencia de calidad. Mientras determinados atributos pueden requerir niveles de exigencia próximos al paradigma  "seis sigma" (menos de 4 defectos por millón de unidades producidas), perseguir la excelencia en algunos atributos no críticos sólo llevará a una pérdida innecesaria de tiempo y recursos. Tengamos pues presente la regla 68-95-99 y sus implicaciones cuando visualicemos los futuros productos que van a salir de nuestro centro de producción.

Fichero: cálculo de distribuciones normales

(c) Vertex42

Toma de decisiones

El proceso de toma de decisiones suele basarse en nuestra experiencia, juicio, reconocimiento de patrones, y grado de aversión al riesgo. En definitiva, en nuestra intución. Los diagramas o árboles de decisión son una herramienta que aporta una perspectiva objetiva a este proceso.

  
Elementos estructurales del árbol de decisiones 
Un árbol de decisiones se construye a través de dos únicos elementos: los nudos de alternativas de acciones y los nudos de alternativas de acontecimientos.

Nudo de acciones:
Todas las posibles elecciones bajo el control del responsable de la decisión. Representado por un cuadrado del cual salen tantas ramas como posibles elecciones. 
Nudo de acontecimientos:
Cada uno de los posibles resultados inciertos -y por lo tanto fuera del control del responsable-  de una elección. Representado por un círculo del cual salen todos los posibles resultados del acontecimiento incierto.

Tomemos como ejemplo un inversor que dispone de 100.000 €, y se plantea dos escenarios de inversión. La Figura 1 muestra el nudo de acciones con las posibles elecciones planteadas: invertir en renta fija, o en una empresa de nueva creación. La Figura 2 muestra el nudo de acontecimientos para la elección "invertir en una start-up", que en su primer año puede quebrar, operar sin beneficios, o dar beneficios en forma de dividendos a repartir entre los accionistas.

Construcción del árbol de decisión
Una vez identificadas las alternativas de elección, y todos los posibles acontecimientos inciertos, el árbol de decisión se construye uniendo sus elementos estructurales y siguiendo una linea temporal que fluye de izquierda a derecha. Finalmente, se asignan valores numéricos a las consecuencias de nuestras decisiones y a los resultados de los posibles acontecimientos, y se añade una estimación de probabilidad a cada uno de los acontecimientos inciertos.

En nuestro ejemplo del inversor, la elección "invertir a plazo fijo" tiene como única consecuencia recuperar el capital más un 3% TAE. Por su parte, la decisión "invertir en una start-up" lleva a un nudo de acontecimientos inciertos a los cuales deberá asignar probabilidades. Supongamos que el inversor es titular del 50% de las acciones, y que la empresa declara en su pacto de socios que repartirá el 50% de beneficios entre accionistas. El inversor estudia además las estadísticas de empresas que quiebran en su primer año y descubre que en promedio fracasan el 25%. Por otro lado, el análisis del plan de negocio revela que la empresa tienen como objetivo unos beneficios netos de 200.000 € el primer año. Tres clientes grandes ya han confirmado pedidos (50% de las ventas) y representan el punto de break-even, mientras que el resto de clientes que darían beneficios son dudosos. Bajo estos supuestos, el inversor estima una probabilidad 1:1 de que la empresa cumpla objetivos en su primer año. Dado que todas las ramas del nudo de acontecimientos deben sumar probabilidad 1, los valores resultantes son: quiebra = 0.25; no beneficio = 0.375; cumplir objetivos = 0.375. El árbol resultante es:

Actitudes ante el riesgo y valor esperado
Las personas con aversión al riesgo se sentirán probablemente tentadas de no invertir en la aventura empresarial del ejemplo. Sin embargo, un emprendedor puede pensar que la probabilidad de perder el capital es baja en comparación con la probabilidad de aumentar o mantener su capital y obtener una revalorización de hasta el 50%.

Una herramienta que elimina estas visiones subjetivas es el cálculo de los valores esperados para cada una de las decisiones. Para nuestro ejemplo, la sustitución del nudo de acontecimientos por su esperanza matemática, calculada a partir de las probabilidades de cada rama deja el siguiente escenario:

Por consiguiente, en este ejemplo el valor esperado para la opción "Invertir en una start-up" supone una pérdida patrimonial neta en el primer año. A partir de este punto, nuestro inversor puede decidir con datos objetivos si finalmente opta por la opción de inversión en renta fija, o bien revisa conjuntamente con la empresa el plan de negocio o participación accionarial, a fin de construir un escenario con esperanza matemática favorable.

DoE. Diseños factoriales

El diseño factorial (ver DoE: definiciones) permite identificar cuales son los factores que tienen efectos significativos sobre las respuestas de nuestro sistema, y la magnitud de estos efectos. En un diseño factorial, el número total de experimentos a realizar vendrá dado por el número de factores, los niveles atribuidos a cada factor, y el grado de incertidumbre que asociemos al modelo.

Diseños factoriales completos (2^k) 
Un diseño factorial completo permite evaluar el efecto de los factores principales y sus interacciones. Los diseños más comunes utilizan dos niveles para cada factor, denominados "nivel bajo" y "nivel alto", y el número total de experimentos a realizar es 2^k, siendo k el número de factores.

La planificación experimental se realiza a través de la denominada matriz del diseño, donde aparecen de forma ordenada las combinaciones de los factores en sus diferentes niveles. Esta matriz se utilizará para el cálculo de los efectos principales y las interacciones. Para un ejemplo de 2 factores (A, B) y dos niveles (+1, -1), la matriz del diseño es:

donde los cuatro experimentos a realizar quedan fijados por las cuatro posibles combinaciones de los factores A y B en sus niveles altos y bajos.

Pongamos por ejemplo que queremos evaluar el efecto de la Presión y la Temperatura en el rendimiento de una reacción química. El experimentador decide como niveles bajos y altos de las variables los siguientes valores: T(K) = 300, 400; P(atm) = 1, 2. Tras plantear el diseño de experimentos según la matriz del diseño, obtiene los siguientes resultados de rendimiento:

a continuación, el efecto cada factor se obtiene promediando los resultados de rendimiento de cada experimento según éste esté en el nivel "alto" o "bajo" (o, lo que es lo mismo, según su signo en la matriz del diseño):

para nuestro ejemplo se obtiene:

que nos permite concluir que el factor principal que gobierna el rendimiento de la reacción es la temperatura del proceso. La presión tiene un efecto claramente inferior, y la interacción entre ambos es prácticamente negligible. Finalmente, si dispusiéramos de replicados del experimento, podríamos además realizar cálculos de análisis de varianza (ANOVA) que permitirían verificar el grado de significancia estadística de nuestros valores, pero éste es un punto que se discutirá en entradas posteriores de este blog...

Diseños factoriales fraccionados (2^k-p)
Cuando el número de factores es grande, la cantidad de experimentos a realizar en un diseño factorial completo puede resultar inmanejable. Por ejemplo, un diseño factorial completo de 10 factores a 2 niveles requiere 1024 experimentos. Para estos casos, se utilizan los diseños factoriales fraccionados, en los cuales el experimentador selecciona un subconjunto de ensayos del total de combinaciones posibles, a cambio de una incertidumbre en la información que obtenemos del sistema.

Los ensayos se escogen de forma que se confundan los efectos de los factores principales con algunas de las interacciones. Esta estrategia presupone que la probabilidad de que los efectos principales influyan en el sistema es superior al de algunas de las interacciones.Por ejemplo, para un sistema de 3 factores (A, B, C) a 2 niveles, un diseño factorial fraccionado 2^3-1 permite estudiar el sistema con sólo 4 experimentos, con la penalización de que los factores principales y las interacciones se confunden entre sí (A=BC; B=AC; C=AB). La siguiente tabla muestra el subconjunto de experimentos de un diseño 2^3-1. La matriz del diseño en este caso corresponde al subconjunto de filas sombreadas de un diseño factorial completo:

 

MATERIAL ADICIONAL 
Bibliografía: Para una descripción rigurosa de los diseños factoriales ver "Probabilidad y estadistica para Ingerieros", de R.W Walpole y R. H. Myers

Plantillas: el tratamiento de los diseños factoriales puede realizarse en la mayoría de los casos con una sencilla hoja de cálculo. Se adjuntan dos ficheros excel de ejemplo para un diseño factorial completo de 3 factores a 2 niveles (factorial 2^3), y para un diseño fraccionado de 4 factores a 2 niveles (factorial fraccionado 2^4-1)

DoE: diseño de experimentos. Definiciones

El diseño de experimentos (DoE) nos permite optimizar procesos de forma estructurada, y con el mínimo esfuerzo experimental. El diseño de experimentos es en si mismo una disciplina con múltiples herramientas, que requiere una definición previa de conceptos: 



Factores: cada una de las variables que potencialmente pueden influir sobre el resultado de un experimento (ejemplos: tiempo, temperatura, presión).
Niveles: valores discretos que toma un factor en el conjunto de experimentos (ejemplo: t= 10s ó 3600s, T=273K ó 373K).
Respuestas: valor de la variable que se está optimizando (ejemplos: rendimiento de una reacción química, estabilidad de una emulsión).
Efectos principales: variaciones en la respuesta del sistema, atribuibles al cambio en los niveles de uno de los factores.
Interacciones: efecto producido por la acción de un factor, modificado por los cambios de otros factores. Hablaremos de interacciones de primer orden cuando existe interacción entre dos factores principales, de segundo orden cuando interaccionan tres factores, etc.

En siguientes entradas se presentan algunas de las múltiples variantes en DoE en optimizaciones de procesos, como los diseños factoriales y los diseños de mezclas. 

Finalmente, es importante remarcar que aunque existe buen software DoE comercial, el uso de estas técnicas requiere un mínimo de formación específica previa, así como unas nociones básicas de estadística.